206. Докажите, что выражение не зависит от переменных: a) a(b - c) + b(c - a) + c(a - b); б) a(c - b) - b(c - a) + c(b - a); в) a(b + c - bc) – b(c + a - ac) + c(b - a); г) а(вс - b - c) + b(ac - a - c) + c(a - b).

Задание 206. Доказательство независимости выражения от переменных

Чтобы доказать, что выражение не зависит от переменных, нужно раскрыть скобки и привести подобные члены. Если в результате получится число, то выражение не зависит от переменных.

а) $$a(b - c) + b(c - a) + c(a - b)$$

Раскроем скобки:

\[ ab - ac + bc - ba + ca - cb \]

Приведем подобные члены:

\[ (ab - ba) + (-ac + ca) + (bc - cb) = 0 + 0 + 0 = 0 \]

Результат: 0. Выражение не зависит от переменных.

б) $$a(c - b) - b(c - a) + c(b - a)$$

Раскроем скобки:

\[ ac - ab - bc + ba + cb - ca \]

Приведем подобные члены:

\[ (ac - ca) + (-ab + ba) + (-bc + cb) = 0 + 0 + 0 = 0 \]

Результат: 0. Выражение не зависит от переменных.

в) $$a(b + c - bc) - b(c + a - ac) + c(b - a)$$

Раскроем скобки:

\[ ab + ac - abc - bc - ba + bac + cb - ca \]

Приведем подобные члены:

\[ (ab - ba) + (ac - ca) + (-abc + bac) + (-bc + cb) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \]

Результат: 0. Выражение не зависит от переменных.

г) $$а(вс - b - c) + b(ac - a - c) + c(a - b)$$

Раскроем скобки:

\[ abc - ab - ac + bac - ba - bc + ca - cb \]

Приведем подобные члены:

\[ (abc + bac) + (-ab - ba) + (-ac + ca) + (-bc - cb) = 2abc - 2ab - 0 - 2bc \]

Здесь есть член $$2abc$$, который зависит от переменных. Ошибка в условии или в моем решении. Давайте перепроверим.

Перепроверим раскрытие скобок:

\[ a(bc - b - c) = abc - ab - ac \]

\[ b(ac - a - c) = abc - ab - bc \]

\[ c(a - b) = ac - bc \]

Сложим:

\[ (abc - ab - ac) + (abc - ab - bc) + (ac - bc) \]

\[ abc - ab - ac + abc - ab - bc + ac - bc \]

Сгруппируем подобные:

\[ (abc + abc) + (-ab - ab) + (-ac + ac) + (-bc - bc) \]

\[ 2abc - 2ab - 2bc \]

Вывод: Выражение $$2abc - 2ab - 2bc$$ зависит от переменных $$a, b, c$$. Вероятно, в условии задания опечатка.