20. Тип 20 № 357583 Решите уравнение x⁴ = (4х - 5)².

Решение:

Дано уравнение: x⁴ = (4x - 5)²

1. Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
• x⁴ - (4x - 5)² = 0
2. Применим формулу разности квадратов a² - b² = (a - b)(a + b), где a = x² и b = (4x - 5):
• (x² - (4x - 5))(x² + (4x - 5)) = 0
• (x² - 4x + 5)(x² + 4x - 5) = 0
3. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель отдельно:
• Первый множитель: x² - 4x + 5 = 0
• Найдем дискриминант (D = b² - 4ac):
• D = (-4)² - 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 16 - 20 = -4
• Так как дискриминант отрицательный (D < 0), это квадратное уравнение не имеет действительных корней.
• Второй множитель: x² + 4x - 5 = 0
• Найдем дискриминант:
• D = 4² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-5) = 16 + 20 = 36
• Так как дискриминант положительный (D > 0), уравнение имеет два действительных корня:
• x₁ = (-b + √D) / 2a = (-4 + √36) / (2 ⋅ 1) = (-4 + 6) / 2 = 2 / 2 = 1
• x₂ = (-b - √D) / 2a = (-4 - √36) / (2 ⋅ 1) = (-4 - 6) / 2 = -10 / 2 = -5

Ответ: x = 1, x = -5