20 Решите уравнение x²-6x + √6-x = √6-x+7.

• Шаг 1: Упрощение уравнения

Перенесём все члены уравнения в одну сторону:

\[ x^2 - 6x + √{6-x} - √{6-x} - 7 = 0 \]

Видно, что слагаемые с квадратным корнем взаимно уничтожаются:

\[ x^2 - 6x - 7 = 0 \]

• Шаг 2: Решение квадратного уравнения

У нас получилось простое квадратное уравнение. Его можно решить с помощью дискриминанта или теоремы Виета.

Через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64 \]

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Через теорему Виета:

Для уравнения вида \(x^2 + px + q = 0\), сумма корней \(x_1 + x_2 = -p\), а произведение \(x_1 \cdot x_2 = q\).

В нашем случае: \(x_1 + x_2 = 6\) и \(x_1 \cdot x_2 = -7\).

Подбираем числа: 7 и -1. Их сумма равна 7 + (-1) = 6. Их произведение равно 7 * (-1) = -7. Корни найдены верно.

• Шаг 3: Проверка на ограничения

В исходном уравнении было выражение под квадратным корнем: \(√{6-x}\). Это выражение имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно:

\[ 6 - x \ge 0 \]

\[ 6 \ge x \]

Теперь проверим наши корни:

Для \(x_1 = 7\): \(6 - 7 = -1\). Это значение меньше нуля, поэтому \(x_1 = 7\) не является корнем исходного уравнения (оно постороннее).

Для \(x_2 = -1\): \(6 - (-1) = 6 + 1 = 7\). Это значение больше нуля, поэтому \(x_2 = -1\) является действительным корнем.

Ответ: -1