20. Решите уравнение x² – 6x + √1 − x = √1 - x + 7.

Привет! Давай решим это уравнение шаг за шагом.

У нас есть уравнение:

\[ x^2 - 6x + \sqrt{1-x} = \sqrt{1-x} + 7 \]

Сначала заметим, что в уравнении есть выражение √(1 - x). Чтобы оно имело смысл, под корнем должно быть неотрицательное число:

\[ 1 - x \ge 0 \]

\[ 1 \ge x \]

Значит, область допустимых значений (ОДЗ) для x: \( x \le 1 \).

Теперь вернемся к уравнению. Мы видим, что √(1 - x) есть с обеих сторон. Можем вычесть его из обеих частей уравнения:

\[ x^2 - 6x = 7 \]

Теперь у нас получилось простое квадратное уравнение. Перенесем все в одну сторону, чтобы привести к стандартному виду \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ x^2 - 6x - 7 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Давай найдем корни по теореме Виета. Нам нужно найти два числа, произведение которых равно -7, а сумма равна 6.

Это числа 7 и -1.

Проверим:

• \( 7 \times (-1) = -7 \) — верно
• \( 7 + (-1) = 6 \) — верно

Таким образом, корни нашего квадратного уравнения: \( x_1 = 7 \) и \( x_2 = -1 \).

Теперь нужно проверить, входят ли эти корни в нашу область допустимых значений (ОДЗ), то есть \( x \le 1 \).

• Для \( x_1 = 7 \): \( 7 \le 1 \) — неверно. Этот корень нам не подходит.
• Для \( x_2 = -1 \): \( -1 \le 1 \) — верно. Этот корень подходит.

Значит, единственным решением уравнения является \( x = -1 \).

Ответ: -1