20 Решите уравнение (х+3)^4 + 2(x+3)^2 - 8 = 0.

Решение:

Это биквадратное уравнение относительно (x+3)². Введем замену:

\[ y = (x+3)^2 \]

Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 + 2y - 8 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение:

1. Дискриминант:\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \]
2. Корни:\[ y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \]\[ y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \]

Теперь вернемся к замене y = (x+3)²:

• Случай 1:\[ (x+3)^2 = -4 \]Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
• Случай 2:\[ (x+3)^2 = 2 \]

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[ x+3 = \pm\sqrt{2} \]

Найдем значения x:

\[ x_1 = -3 + \sqrt{2} \]\[ x_2 = -3 - \sqrt{2} \]

Ответ: -3 + √2, -3 - √2