20 Решите уравнение (х+3)⁴+2(х+3)²-8=0.

Решение:

Это биквадратное уравнение относительно (x+3)².

1. Введем замену: Пусть y = (x+3)². Тогда уравнение примет вид: y² + 2y - 8 = 0.
2. Решим квадратное уравнение: Используем дискриминант D = b² - 4ac.
• D = 2² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.
• \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
• \[ y_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2*1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
• \[ y_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2*1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
3. Вернемся к замене:
• Случай 1: y = 2
• \[ (x+3)^2 = 2 \]
• \[ x+3 = \pm\sqrt{2} \]
• \[ x = -3 \pm\sqrt{2} \]
• Таким образом, x₁ = -3 + √2, x₂ = -3 - √2.
• Случай 2: y = -4
• \[ (x+3)^2 = -4 \]
• Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: -3 + √2; -3 - √2