20. Решите уравнение \( \frac{1}{x^2} + \frac{4}{x} - 12 = 0 \)

Это дробно-рациональное уравнение. Чтобы его решить, сделаем замену переменной.

1. ОДЗ: Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \( x \neq 0 \).
2. Замена: Пусть \( y = \frac{1}{x} \). Тогда \( y^2 = \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{x^2} \).
3. Подставляем замену в уравнение:

\[ y^2 + 4y - 12 = 0 \]

Теперь у нас получилось квадратное уравнение относительно \( y \). Решим его через дискриминант.

1. Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)

\[ D = 4^2 - 4 \times 1 \times (-12) = 16 + 48 = 64 \]

1. Найдем корни квадратного уравнения:

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ y_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \times 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

\[ y_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \times 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]

1. Возвращаемся к исходной переменной:

У нас два случая:

Случай 1: \( y_1 = 2 \)

\[ \frac{1}{x} = 2 \]

Отсюда \( x = \frac{1}{2} \).

Случай 2: \( y_2 = -6 \)

\[ \frac{1}{x} = -6 \]

Отсюда \( x = -\frac{1}{6} \).

Оба корня \( x = \frac{1}{2} \) и \( x = -\frac{1}{6} \) не равны нулю, поэтому они подходят.

Ответ: $$x = \frac{1}{2}$$, $$x = -\frac{1}{6}$$