20 Решите уравнение (2x-3)²(4x+5)= (2x-3)(4x+5)².

Решение:

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить нулевую правую часть:

\( (2x-3)^2(4x+5) - (2x-3)(4x+5)^2 = 0 \)

Вынесем общий множитель \( (2x-3)(4x+5) \) за скобки:

\( (2x-3)(4x+5) [ (2x-3) - (4x+5) ] = 0 \)

Раскроем скобки внутри квадратных скобок:

\( (2x-3)(4x+5) [ 2x-3 - 4x-5 ] = 0 \)

Упростим выражение в квадратных скобках:

\( (2x-3)(4x+5) [ -2x-8 ] = 0 \)

Вынесем \( -2 \) из последней скобки:

\( -2(2x-3)(4x+5)(x+4) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, приравниваем каждый множитель к нулю:

1. \( 2x-3 = 0 \)

\( 2x = 3 \)

\( x = \frac{3}{2} \)

2. \( 4x+5 = 0 \)

\( 4x = -5 \)

\( x = -\frac{5}{4} \)

3. \( x+4 = 0 \)

\( x = -4 \)

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: \( x = \frac{3}{2}, x = -\frac{5}{4}, x = -4 \).