20. Решите уравнение: 1/x^2 + 4/x - 12 = 0.

Решение:

Данное уравнение является дробно-рациональным. Чтобы его решить, приведём все члены к общему знаменателю \( x^2 \).

1. Умножим обе части уравнения на \( x^2 \) (при условии \( x \neq 0 \)):

\[ 1 + 4x - 12x^2 = 0 \]

2. Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ -12x^2 + 4x + 1 = 0 \]

3. Умножим на -1 для удобства:

\[ 12x^2 - 4x - 1 = 0 \]

4. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16 + 48 = 64 \]

5. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{4 + 8}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{4 - 8}{24} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6} \]

6. Проверим, что полученные корни не равны нулю. Оба корня \( x_1 = \frac{1}{2} \) и \( x_2 = -\frac{1}{6} \) не равны нулю.

Ответ: x₁ = 1/2, x₂ = -1/6.