20. Решите тригонометрическое уравнение: 2sin^2 x + sin x - 1 = 0;

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \( \sin x \). Обозначим \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2y^2 + y - 1 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

и

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Теперь вернемся к замене \( y = \sin x \):

1. \( \sin x = \frac{1}{2} \)

Общее решение этого уравнения:

\[ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. \( \sin x = -1 \)

Общее решение этого уравнения:

\[ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).