20. Реши уравнение х⁴ = (9х – 20)². Если корней несколько, то в ответ запиши их сумму.

Задание 20. Уравнение

Привет! Давай решим это интересное уравнение шаг за шагом.

Уравнение:

\[ x^4 = (9x - 20)^2 \]

Решение:

1. Чтобы избавиться от квадрата, возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что квадратный корень из числа в квадрате дает либо само число, либо его противоположное значение.

Случай 1:

\[ x^2 = 9x - 20 \]

Теперь перенесем всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 9x + 20 = 0 \]

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \). В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -9 \), \( c = 20 \).

\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1 \]

Так как \( D > 0 \), есть два корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Случай 2:

\[ x^2 = -(9x - 20) \]

\[ x^2 = -9x + 20 \]

Переносим всё в одну сторону:

\[ x^2 + 9x - 20 = 0 \]

Снова используем дискриминант. Здесь \( a = 1 \), \( b = 9 \), \( c = -20 \).

\[ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 81 + 80 = 161 \]

Так как \( D > 0 \), есть два корня:

\[ x_3 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{161}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + \sqrt{161}}{2} \]

\[ x_4 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{161}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - \sqrt{161}}{2} \]

Находим сумму корней:

Нас просят записать сумму всех корней, если их несколько. У нас их четыре:

\[ Сумма = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \]

\[ Сумма = 5 + 4 + \frac{-9 + \sqrt{161}}{2} + \frac{-9 - \sqrt{161}}{2} \]

Сначала сложим \( x_3 \) и \( x_4 \):

\[ \frac{-9 + \sqrt{161}}{2} + \frac{-9 - \sqrt{161}}{2} = \frac{-9 + \sqrt{161} - 9 - \sqrt{161}}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \]

Теперь сложим все корни:

\[ Сумма = 5 + 4 + (-9) = 9 - 9 = 0 \]

Ответ: 0