20. Реши уравнение (х + 1)⁴ - 7(х + 1)² + 12 = 0. Если корней несколько, то в ответе укажи их сумму.

Привет! Давай разберем это уравнение шаг за шагом.

У нас есть уравнение: \[ (x + 1)^4 - 7(x + 1)^2 + 12 = 0 \]

Обрати внимание, что \[ (x + 1)^4 \] — это то же самое, что \[ ((x + 1)^2)^2 \].

Чтобы упростить, давай сделаем замену переменной. Пусть \[ y = (x + 1)^2 \]. Тогда наше уравнение станет таким:

\[ y^2 - 7y + 12 = 0 \]

Это обычное квадратное уравнение. Его можно решить через дискриминант или по теореме Виета. Давай используем теорему Виета. Нам нужны два числа, которые в сумме дают 7, а при умножении — 12. Это числа 3 и 4.

Значит, у нас есть два возможных значения для \[ y \]:

• \[ y_1 = 3 \]
• \[ y_2 = 4 \]

Теперь нам нужно вернуться к нашей первоначальной замене, то есть найти \[ x \].

Случай 1: \[ y = 3 \]

\[ (x + 1)^2 = 3 \]

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

\[ x + 1 = \pm \sqrt{3} \]

Отсюда получаем два корня:

• \[ x_1 = -1 + \sqrt{3} \]
• \[ x_2 = -1 - \sqrt{3} \]

Случай 2: \[ y = 4 \]

\[ (x + 1)^2 = 4 \]

Извлекаем квадратный корень:

\[ x + 1 = \pm \sqrt{4} \]

\[ x + 1 = \pm 2 \]

Отсюда получаем еще два корня:

• \[ x_3 = -1 + 2 = 1 \]
• \[ x_4 = -1 - 2 = -3 \]

Итак, у нас есть четыре корня: \[ -1 + \sqrt{3}, -1 - \sqrt{3}, 1, -3 \].

Задание просит найти сумму всех корней, если их несколько. Сложим все найденные значения:

\[ (-1 + \sqrt{3}) + (-1 - \sqrt{3}) + 1 + (-3) \]

\[ -1 + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} + 1 - 3 \]

\[ (-1 - 1 + 1 - 3) + (\sqrt{3} - \sqrt{3}) \]

\[ -4 + 0 \]

\[ -4 \]

Ответ: -4