20. (ОБЗ) Острый угол В прямоугольного треугольника ABC равен 20°. Найдите величину угла между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла С. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90°, угол B = 20°.

Угол A = 180° - 90° - 20° = 70°.

CD – биссектриса угла C. Следовательно, угол ACD = угол BCD = 90° / 2 = 45°.

CM – медиана к гипотенузе AB. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (CM = AM = BM).

Рассмотрим треугольник CMB. Так как CM = BM, то треугольник CMB равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: угол BCM = угол B = 20°.

Теперь найдем угол DCM:

\( \angle DCM = \angle BCD - \angle BCM = 45° - 20° = 25° \)

Ответ: 25°.