20. (3 балла) Решите систему уравнений { x - y = 5; 4^(x+y) = 16^(1-x) }

Решение:

Система уравнений:

\( \begin{cases} x - y = 5 \\ 4^{x+y} = 16^{1-x}
\end{cases} \)

Из первого уравнения выразим \( y \):

\( y = x - 5 \)

Преобразуем второе уравнение, представив \( 16 \) как \( 4^2 \):

\( 4^{x+y} = (4^2)^{1-x} \)

\( 4^{x+y} = 4^{2(1-x)} \)

Приравниваем показатели степеней:

\( x + y = 2(1 - x) \)

\( x + y = 2 - 2x \)

Подставим \( y = x - 5 \) во второе уравнение:

\( x + (x - 5) = 2 - 2x \)

\( 2x - 5 = 2 - 2x \)

\( 2x + 2x = 2 + 5 \)

\( 4x = 7 \)

\( x = \frac{7}{4} \)

Теперь найдем \( y \), подставив значение \( x \) в \( y = x - 5 \):

\( y = \frac{7}{4} - 5 \)

\( y = \frac{7}{4} - \frac{20}{4} \)

\( y = -\frac{13}{4} \)

Ответ: \( x = \frac{7}{4}, y = -\frac{13}{4} \).