20.13 Найдите точки пересечения графиков функций: а) y = 2/x и y = 2x; б) y = -5/x и y = -5; в) y = -8/x и y = -8; г) y = 1/x и y = 1. 20.14 Решите графически уравнение: а) 2/x = 2; б) -4/x = 3 - x; в) -2/x = 1 - x.

Решение:

20.13 Находим точки пересечения графиков функций:

1. а) Для нахождения точки пересечения приравниваем уравнения: \( \frac{2}{x} = 2x \) . Умножаем обе части на \( x \) (при \( x
   eq 0 \)): \( 2 = 2x^2 \) . Делим на 2: \( x^2 = 1 \) . Отсюда \( x = 1 \) или \( x = -1 \). Найдем соответствующие значения \( y \): если \( x = 1 \), то \( y = 2(1) = 2 \); если \( x = -1 \), то \( y = 2(-1) = -2 \). Точки пересечения: (1; 2) и (-1; -2).
2. б) Приравниваем уравнения: \( \frac{-5}{x} = -5 \). Умножаем обе части на \( x \) (при \( x
   eq 0 \)): \( -5 = -5x \). Делим на -5: \( x = 1 \). Найдем \( y \): \( y = -5(1) = -5 \). Точка пересечения: (1; -5).
3. в) Приравниваем уравнения: \( \frac{-8}{x} = -8 \). Умножаем обе части на \( x \) (при \( x
   eq 0 \)): \( -8 = -8x \). Делим на -8: \( x = 1 \). Найдем \( y \): \( y = -8(1) = -8 \). Точка пересечения: (1; -8).
4. г) Приравниваем уравнения: \( \frac{1}{x} = 1 \). Умножаем обе части на \( x \) (при \( x
   eq 0 \)): \( 1 = x \). Найдем \( y \): \( y = 1 \). Точка пересечения: (1; 1).

20.14 Решаем графически уравнения:

1. а) Уравнение: \( \frac{2}{x} = 2 \). Это совпадает с пунктом 20.13(а) для \( y = 2 \). Из пункта 20.13(а) мы знаем, что точки пересечения \( y = \frac{2}{x} \) и \( y = 2x \) при \( x=1 \) и \( x=-1 \). Так как \( y = 2 \), то \( x=1 \). Решение: x = 1.
2. б) Уравнение: \( \frac{4}{x} = 3 - x \). Графики функций \( y = \frac{4}{x} \) и \( y = 3 - x \). Построим эти графики. При \( x = 1 \), \( y = 4 \) для первой функции и \( y = 3 - 1 = 2 \) для второй. При \( x = 2 \), \( y = 2 \) для первой функции и \( y = 3 - 2 = 1 \) для второй. При \( x = 4 \), \( y = 1 \) для первой функции и \( y = 3 - 4 = -1 \) для второй. При \( x = -1 \), \( y = -4 \) для первой функции и \( y = 3 - (-1) = 4 \) для второй. При \( x = -2 \), \( y = -2 \) для первой функции и \( y = 3 - (-2) = 5 \) для второй. При \( x = -4 \), \( y = -1 \) для первой функции и \( y = 3 - (-4) = 7 \) для второй. Анализируя графики, точки пересечения будут при \( x=1 \) и \( x=-4 \). Проверим: если \( x = 1 \), то \( \frac{4}{1} = 4 \) и \( 3 - 1 = 2 \) - не совпадает. Если \( x=4 \), то \( \frac{4}{4} = 1 \) и \( 3-4 = -1 \) - не совпадает. Если \( x=-1 \), то \( \frac{4}{-1} = -4 \) и \( 3-(-1) = 4 \) - не совпадает. Ошибки в исходных данных или я неправильно интерпретировал. Попробуем решить алгебраически: \( 4 = x(3-x) \) -> \( 4 = 3x - x^2 \) -> \( x^2 - 3x + 4 = 0 \). Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 \). Корней нет. Проверим в условии: -4/x = 3-x. Тогда \( -4 = x(3-x) \) -> \( -4 = 3x - x^2 \) -> \( x^2 - 3x - 4 = 0 \). \( (x-4)(x+1) = 0 \). Значит, \( x=4 \) или \( x=-1 \). При \( x=4 \), \( y = -4/4 = -1 \) и \( y = 3-4 = -1 \). Точка пересечения (4; -1). При \( x=-1 \), \( y = -4/-1 = 4 \) и \( y = 3-(-1) = 4 \). Точка пересечения (-1; 4). Решения: x = 4 и x = -1.
3. в) Уравнение: \( \frac{2}{x} = 1 - x \). Графики функций \( y = -\frac{2}{x} \) и \( y = 1 - x \). Построим эти графики. При \( x=1 \), \( y=-2 \) и \( y=0 \). При \( x=2 \), \( y=-1 \) и \( y=-1 \). Точка пересечения (2; -1). При \( x=-1 \), \( y=2 \) и \( y=2 \). Точка пересечения (-1; 2). Решения: x = 2 и x = -1.