2. x \(\log\)_{8}\(\left\)\(\frac{x}{5} - 1 \right\) \(\ge\) 3 \(\log\)_{2}\(\left\)\(\frac{x}{5} - 1 \right\).

Решение:

Шаг 1: ОДЗ (Область допустимых значений).

1. Основание логарифма \( 8 \) положительное и не равно 1.
2. Основание логарифма \( 2 \) положительное и не равно 1.
3. Аргумент логарифма должен быть положительным:
• \( \frac{x}{5} - 1 > 0 \Rightarrow \frac{x}{5} > 1 \Rightarrow x > 5 \)

Таким образом, ОДЗ: \( x > 5 \).

Шаг 2: Преобразование неравенства.

Перенесем все члены в одну сторону:

\( x \log_{8}\left( \frac{x}{5} - 1 \right) - 3 \log_{2}\left( \frac{x}{5} - 1 \right) \ge 0 \)

Используем свойство логарифмов \( \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b \) или \( \log_{a^k} b = \log_a b^{1/k} \). Заметим, что \( 8 = 2^3 \).

\( \log_{8}\left( \frac{x}{5} - 1 \right) = \log_{2^3}\left( \frac{x}{5} - 1 \right) = \frac{1}{3} \log_{2}\left( \frac{x}{5} - 1 \right) \)

Подставим это в неравенство:

\( x \cdot \frac{1}{3} \log_{2}\left( \frac{x}{5} - 1 \right) - 3 \log_{2}\left( \frac{x}{5} - 1 \right) \ge 0 \)

Вынесем общий множитель \( \log_{2}\left( \frac{x}{5} - 1 \right) \):

\( \left( \frac{x}{3} - 3 \right) \log_{2}\left( \frac{x}{5} - 1 \right) \ge 0 \)

Шаг 3: Применение метода рационализации (приведение к виду \( (a-1) \cdot (b-1) \ge 0 \) или \( (a-b)(c-d) \ge 0 \)).

Метод рационализации для логарифмов \( \log_a b \) применяется, когда мы хотим избавиться от логарифма, заменяя \( \log_a b \) на \( (a-1)(b-1) \) при \( a > 0, a
e 1, b > 0 \). Однако, в нашем случае, у нас произведение двух множителей, где один из них — логарифм, а другой — выражение с \( x \). Мы можем применить метод рационализации к самому логарифму:

\( \log_2 \left( \frac{x}{5} - 1 \right) \ge 0 \). Так как основание \( 2 > 1 \), то \( \log_2 \left( \frac{x}{5} - 1 \right) \ge \log_2 1 \), что означает \( \frac{x}{5} - 1 \ge 1 \) (это для \( \ge 0 \)).

Рационализируем логарифм, сравнивая его с \( \log_2 1 = 0 \):

\( \log_2 \left( \frac{x}{5} - 1 \right) \ge 0 \) эквивалентно \( (2-1) \left( \frac{x}{5} - 1 - 1 \right) \ge 0 \) (для \( \log_2 Y \ge 0 \), где \( Y = \frac{x}{5}-1 \)), что дает \( 1 \cdot \left( \frac{x}{5} - 2 \right) \ge 0 \) или \( \frac{x}{5} - 2 \ge 0 \).

Теперь вернемся к исходному неравенству, умножив на \( 3 \) для удобства:

\( (x - 9) \log_{2}\left( \frac{x}{5} - 1 \right) \ge 0 \)

Теперь у нас есть произведение двух множителей. Оба множителя должны быть одного знака (либо оба \( \ge 0 \), либо оба \( \le 0 \)).

Случай 1: Оба множителя \( \ge 0 \).

• \( x - 9 \ge 0 \Rightarrow x \ge 9 \)
• \( \log_{2}\left( \frac{x}{5} - 1 \right) \ge 0 \). Так как основание \( 2 > 1 \), то \( \frac{x}{5} - 1 \ge 1 \) (так как \( \log_2 1 = 0 \)).
• \( \frac{x}{5} \ge 2 \Rightarrow x \ge 10 \).

Объединяя \( x \ge 9 \) и \( x \ge 10 \), получаем \( x \ge 10 \).

Случай 2: Оба множителя \( \le 0 \).

• \( x - 9 \le 0 \Rightarrow x \le 9 \)
• \( \log_{2}\left( \frac{x}{5} - 1 \right) \le 0 \). Так как основание \( 2 > 1 \), то \( \frac{x}{5} - 1 \le 1 \) (так как \( \log_2 1 = 0 \)).
• \( \frac{x}{5} \le 2 \Rightarrow x \le 10 \).

Объединяя \( x \le 9 \) и \( x \le 10 \), получаем \( x \le 9 \).

Шаг 4: Объединение с ОДЗ.

Мы получили два интервала: \( x \ge 10 \) и \( x \le 9 \). Теперь учтем ОДЗ \( x > 5 \).

• Из \( x \ge 10 \) и \( x > 5 \) получаем \( x \ge 10 \).
• Из \( x \le 9 \) и \( x > 5 \) получаем \( 5 < x \le 9 \).

Объединяя эти два интервала, получаем решение.

Ответ: \( x \in (5; 9] \cup [10; \infty) \).