2^x + 8^x = 68

Решение:

Данное уравнение является показательным. Для его решения представим \( 8^x \) как \( (2^3)^x = (2^x)^3 \).

Пусть \( y = 2^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y + y^3 = 68 \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ y^3 + y - 68 = 0 \]

Подберём целый корень уравнения. Проверим делители числа 68: \( ±1, ±2, ±4, ±17, ±34, ±68 \).

Подставим \( y = 4 \):

\[ 4^3 + 4 - 68 = 64 + 4 - 68 = 68 - 68 = 0 \]

Значит, \( y = 4 \) является корнем уравнения.

Теперь вернёмся к замене \( y = 2^x \):

\[ 2^x = 4 \]

Так как \( 4 = 2^2 \), то:

\[ 2^x = 2^2 \]

Следовательно, \( x = 2 \).

Проверим решение:

\[ 2^2 + 8^2 = 4 + 64 = 68 \]

Равенство верно.

Ответ: x = 2.