2^x + 2^y = 10 x + y = 4

Решение:

Дана система уравнений:

\( 2^x + 2^y = 10 \) (1)

\( x + y = 4 \) (2)

Из уравнения (2) выразим \( y \):

\( y = 4 - x \)

Подставим это выражение в уравнение (1):

\( 2^x + 2^{4-x} = 10 \)

\( 2^x + \frac{2^4}{2^x} = 10 \)

\( 2^x + \frac{16}{2^x} = 10 \)

Сделаем замену переменной. Пусть \( t = 2^x \). Тогда:

\( t + \frac{16}{t} = 10 \)

Умножим обе части уравнения на \( t \) (при условии \( t > 0 \) ):

\( t^2 + 16 = 10t \)

\( t^2 - 10t + 16 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( t \). Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36 \]

Найдем корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

\[ t_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Теперь вернемся к замене \( t = 2^x \):

Случай 1: \( t = 8 \)

\( 2^x = 8 \)

\( 2^x = 2^3 \)

\( x = 3 \)

Найдем соответствующее значение \( y \) из уравнения \( y = 4 - x \):

\( y = 4 - 3 = 1 \)

Проверка: \( 2^3 + 2^1 = 8 + 2 = 10 \). Верно.

Случай 2: \( t = 2 \)

\( 2^x = 2 \)

\( 2^x = 2^1 \)

\( x = 1 \)

Найдем соответствующее значение \( y \) из уравнения \( y = 4 - x \):

\( y = 4 - 1 = 3 \)

Проверка: \( 2^1 + 2^3 = 2 + 8 = 10 \). Верно.

Ответ: (3; 1) и (1; 3).