2. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 9 см, а само основание равно 24 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

Решение:

Пусть данный равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, а AC — основание. Высота BH = 9 см, основание AC = 24 см.

Так как треугольник равнобедренный, высота BH является также медианой и делит основание AC пополам. Следовательно, AH = HC = AC / 2 = 24 см / 2 = 12 см.

1. Нахождение боковой стороны треугольника:

   Рассмотрим прямоугольный треугольник △BHC. По теореме Пифагора:

   $$BC^2 = BH^2 + HC^2$$

   $$BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$$

   $$BC = \sqrt{225} = 15$$ см.

   Таким образом, боковые стороны треугольника равны 15 см.

2. Нахождение радиуса вписанной окружности (r):

   Площадь треугольника ABC ($$S$$) равна:

   $$S = \frac{1}{2} \times основание \times высота = \frac{1}{2} \times AC \times BH = \frac{1}{2} \times 24 \times 9 = 12 \times 9 = 108$$ см².

   Полупериметр треугольника (p) равен:

   $$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{15 + 15 + 24}{2} = \frac{54}{2} = 27$$ см.

   Радиус вписанной окружности находится по формуле: $$r = \frac{S}{p}$$

   $$r = \frac{108}{27} = 4$$ см.

3. Нахождение радиуса описанной окружности (R):

   Радиус описанной окружности можно найти по формуле:

   $$R = \frac{abc}{4S}$$, где a, b, c — стороны треугольника, S — его площадь.

   $$R = \frac{15 \times 15 \times 24}{4 \times 108}$$

   $$R = \frac{5400}{432}$$

   $$R = 12.5$$ см.

   Альтернативный способ для R:

   В равнобедренном треугольнике центр описанной окружности лежит на высоте (или ее продолжении). Пусть O — центр описанной окружности, расположенный на BH. Тогда OB = OC = OA = R.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник △OHC. OC = R. OH = BH - OB = 9 - R (если O лежит между B и H) или OH = OB - BH = R - 9 (если H лежит между O и B).

   По теореме Пифагора для △OHC:

   $$OC^2 = OH^2 + HC^2$$

   $$R^2 = (9 - R)^2 + 12^2$$

   $$R^2 = (81 - 18R + R^2) + 144$$

   $$R^2 = 81 - 18R + R^2 + 144$$

   $$0 = 225 - 18R$$

   $$18R = 225$$

   $$R = \frac{225}{18} = \frac{25}{2} = 12.5$$ см.

Ответ:

• Радиус вписанной окружности: 4 см.
• Радиус описанной окружности: 12.5 см.