2. Высота, проведенная из вершины острого угла тупоугольного треугольника к его основанию, образует с боковыми сторонами углы 14° и 38°. Найдите углы треугольника. 3. Из центра окружности О к хорде АВ проведен перпендикуляр ОС, равный 20 см. найдите хорду АВ, если угол ОАВ равен 45°. 4. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, проведенной к гипотенузе.

Задание 2. Тупоугольный треугольник

Дано:

• Тупоугольный треугольник ABC, высота CD.
• ∠ACD = 14°
• ∠BCD = 38°

Найти: углы треугольника ABC.

Решение:

1. Высота CD перпендикулярна основанию AB, поэтому ∠CDA = ∠CDB = 90°.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC: ∠CAD = 180° - 90° - 14° = 76°. Это угол ∠A треугольника ABC.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC: ∠CBD = 180° - 90° - 38° = 52°. Это угол ∠B треугольника ABC.
4. Угол ∠C треугольника ABC равен сумме углов ∠ACD и ∠BCD: ∠C = 14° + 38° = 52°.
5. Проверим сумму углов: 76° + 52° + 52° = 180°.

Ответ: Углы треугольника равны 76°, 52°, 52°.

Задание 3. Хорда окружности

Дано:

• Окружность с центром О.
• Хорда AB.
• OC ⊥ AB, OC = 20 см.
• ∠OAB = 45°.

Найти: хорду AB.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник OAC. Так как OC ⊥ AB, то ∠OCA = 90°.
2. Так как OC является радиусом, проведенным к хорде, он делит ее пополам, то есть AC = CB.
3. Рассмотрим треугольник OAB. OA и OB — радиусы окружности, поэтому OA = OB. Треугольник OAB — равнобедренный.
4. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠OAB = ∠OBA = 45°.
5. Найдем угол ∠AOB: ∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - (45° + 45°) = 180° - 90° = 90°.
6. Таким образом, треугольник OAB — прямоугольный и равнобедренный.
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник OAC. Угол ∠OAC = 45°, угол ∠OCA = 90°. Следовательно, угол ∠AOC = 180° - 90° - 45° = 45°.
8. Треугольник OAC — равнобедренный прямоугольный треугольник, где OC = AC = 20 см.
9. Хорда AB = 2 * AC = 2 * 20 см = 40 см.

Ответ: хорда AB равна 40 см.

Задание 4. Равенство прямоугольных треугольников

Доказательство:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: ABC и A1B1C1, где C и C1 — прямые углы.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе (гипотенуза и острый угол):

1. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
2. Дано: \( AC = A_1C_1 \) и \( ∠A = ∠A_1 \).
3. Доказательство: В прямоугольных треугольниках \( ∠C = ∠C_1 = 90° \). По признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников), \( △ ABC = △ A_1B_1C_1 \).

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу:

1. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
2. Дано: \( AC = A_1C_1 \) и \( ∠B = ∠B_1 \).
3. Доказательство: Так как \( ∠C = ∠C_1 = 90° \), то \( ∠A = 90° - ∠B \) и \( ∠A_1 = 90° - ∠B_1 \). Так как \( ∠B = ∠B_1 \), то \( ∠A = ∠A_1 \). По признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников), \( △ ABC = △ A_1B_1C_1 \).

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам:

1. Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
2. Дано: \( AC = A_1C_1 \) и \( BC = B_1C_1 \).
3. Доказательство: По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( △ ABC = △ A_1B_1C_1 \).

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе:

1. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
2. Дано: \( AC = A_1C_1 \) и \( AB = A_1B_1 \).
3. Доказательство: По теореме Пифагора найдем второй катет: \( BC = √(AB^2 - AC^2) \) и \( B_1C_1 = √(A_1B_1^2 - A_1C_1^2) \). Так как \( AB = A_1B_1 \) и \( AC = A_1C_1 \), то \( BC = B_1C_1 \). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( △ ABC = △ A_1B_1C_1 \).

Вывод: Доказано равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, проведенной к гипотенузе.