2. Высота CD, проведённая к основанию AB равнобедренного треугольника ABC, равна 3 см, AB = 8 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

Решение:

1. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный и CD — высота к основанию AB, то CD также является медианой. Значит, \( AD = DB = AB/2 = 8/2 = 4 \) см.
2. В прямоугольном \( \triangle CDB \) найдём длину боковой стороны BC по теореме Пифагора: \( BC^2 = CD^2 + DB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \). \( BC = \sqrt{25} = 5 \) см. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный, \( AC = BC = 5 \) см.
3. Площадь \( \triangle ABC \): \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12 \) см\(^2\).
4. Радиус вписанной окружности \( r \) находится по формуле \( r = \frac{S}{p} \), где \( p \) — полупериметр.
5. Периметр \( P = AB + BC + AC = 8 + 5 + 5 = 18 \) см.
6. Полупериметр \( p = P/2 = 18/2 = 9 \) см.
7. Радиус вписанной окружности: \( r = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \) см.
8. Радиус описанной окружности \( R \) находится по формуле \( R = \frac{abc}{4S} \), где \( a, b, c \) — стороны треугольника.
9. \( R = \frac{8 \cdot 5 \cdot 5}{4 \cdot 12} = \frac{200}{48} = \frac{25}{6} \) см.

Ответ: Радиус вписанной окружности \( r = \frac{4}{3} \) см, радиус описанной окружности \( R = \frac{25}{6} \) см.