2. Выполните действия с алгебраическими дробями: а) \(\frac{a^2-25}{a+3}\cdot\frac{1}{a^2+5a}-\frac{a+5}{a^2-3a}\); б) \(\frac{1-2x}{2x+1}+\frac{x^2+3x}{4x^2-1}:\frac{3+x}{4x+2}\).

а)

Разложим многочлены на множители:

\[a^2-25=(a-5)(a+5),\quad a^2+5a=a(a+5),\quad a^2-3a=a(a-3).\]

Тогда

\[\frac{a^2-25}{a+3}\cdot\frac{1}{a^2+5a}-\frac{a+5}{a^2-3a}=\frac{(a-5)(a+5)}{(a+3)a(a+5)}-\frac{a+5}{a(a-3)}.\]

Сократим первую дробь и приведём к общему знаменателю:

\[\frac{a-5}{a(a+3)}-\frac{a+5}{a(a-3)}=\frac{(a-5)(a-3)-(a+5)(a+3)}{a(a+3)(a-3)}.\]

\[\frac{a^2-8a+15-a^2-8a-15}{a(a+3)(a-3)}=\frac{-16a}{a(a+3)(a-3)}=\frac{-16}{(a+3)(a-3)}.\]

б)

Заменим деление умножением на обратную дробь:

\[\frac{1-2x}{2x+1}+\frac{x^2+3x}{4x^2-1}:\frac{x+3}{4x+2}=\frac{1-2x}{2x+1}+\frac{x(x+3)}{(2x-1)(2x+1)}\cdot\frac{2(2x+1)}{x+3}.\]

После сокращения:

\[\frac{1-2x}{2x+1}+\frac{2x}{2x-1}.\]

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[\frac{(1-2x)(2x-1)+2x(2x+1)}{(2x+1)(2x-1)}=\frac{-4x^2+4x-1+4x^2+2x}{4x^2-1}=\frac{6x-1}{4x^2-1}.\]

Ограничения: в пункте а) \(a\ne-5,-3,0,3\); в пункте б) \(x\ne-3,-\frac12,\frac12\).

Ответ: а) \(\displaystyle -\frac{16}{(a+3)(a-3)}\); б) \(\displaystyle \frac{6x-1}{4x^2-1}\).