2. Выполните действия: a) $$\frac{2x}{x-a} - \frac{2a}{x+a}$$; б) $$\frac{2-ab}{2a+ab} + \frac{2b}{2+b}$$; в) $$c - \frac{c^2}{c+1}$$.

Привет! Давай разберемся с этими примерами по алгебре.

а) Вычитание дробей:

Чтобы вычесть дроби, нам нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель здесь — это произведение (x-a) и (x+a).

1. Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на (x+a):

\[ \frac{2x}{x-a} = \frac{2x(x+a)}{(x-a)(x+a)} = \frac{2x^2 + 2ax}{x^2 - a^2} \]

2. Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на (x-a):

\[ \frac{2a}{x+a} = \frac{2a(x-a)}{(x+a)(x-a)} = \frac{2ax - 2a^2}{x^2 - a^2} \]

3. Теперь вычитаем:

\[ \frac{2x^2 + 2ax}{x^2 - a^2} - \frac{2ax - 2a^2}{x^2 - a^2} = \frac{(2x^2 + 2ax) - (2ax - 2a^2)}{x^2 - a^2} \]

4. Раскрываем скобки в числителе:

\[ \frac{2x^2 + 2ax - 2ax + 2a^2}{x^2 - a^2} = \frac{2x^2 + 2a^2}{x^2 - a^2} \]

Ответ: $$\frac{2x^2 + 2a^2}{x^2 - a^2}$$

б) Сложение дробей:

Сначала упростим первую дробь, вынеся общий множитель в знаменателе:

\[ \frac{2-ab}{2a+ab} = \frac{2-ab}{a(2+b)} \]

Теперь у нас есть дроби:

\[ \frac{2-ab}{a(2+b)} + \frac{2b}{2+b} \]

Общий знаменатель — a(2+b).

1. Приводим вторую дробь к общему знаменателю:

\[ \frac{2b}{2+b} = \frac{2b imes a}{(2+b) imes a} = \frac{2ab}{a(2+b)} \]

2. Складываем дроби:

\[ \frac{2-ab}{a(2+b)} + \frac{2ab}{a(2+b)} = \frac{(2-ab) + 2ab}{a(2+b)} \]

3. Упрощаем числитель:

\[ \frac{2 - ab + 2ab}{a(2+b)} = \frac{2 + ab}{a(2+b)} \]

Ответ: $$\frac{2 + ab}{a(2+b)}$$

в) Вычитание целого и дроби:

Чтобы вычесть дробь из целого числа, представим целое число в виде дроби с тем же знаменателем.

1. Представляем c как дробь со знаменателем (c+1):

\[ c = \frac{c(c+1)}{c+1} = \frac{c^2+c}{c+1} \]

2. Вычитаем:

\[ \frac{c^2+c}{c+1} - \frac{c^2}{c+1} = \frac{(c^2+c) - c^2}{c+1} \]

3. Упрощаем числитель:

\[ \frac{c^2 + c - c^2}{c+1} = \frac{c}{c+1} \]

Ответ: $$\frac{c}{c+1}$$