2) Вычислите \(\int_0^1 (x^3 + x) dx\) и \(\int_1^2 4x^3 dx\).

Решение:

1. Первый интеграл:
   \(\int_0^1 (x^3 + x) dx\)
   Найдём первообразную: \( \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \).
   Вычислим определённый интеграл: \( \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \left( \frac{1^4}{4} + \frac{1^2}{2} \right) - \left( \frac{0^4}{4} + \frac{0^2}{2} \right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4} \).
2. Второй интеграл:
   \(\int_1^2 4x^3 dx\)
   Найдём первообразную: \( 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 \).
   Вычислим определённый интеграл: \( \left[ x^4 \right]_1^2 = 2^4 - 1^4 = 16 - 1 = 15 \).

Ответ: \(\frac{3}{4}\); 15.