2. Вычислить значение выражения: 2\(\frac{1}{3}\):(\(\frac{5}{8}-\frac{8}{3}\))+2\(\cdot\)1\(\frac{3}{7}\) a) \(\frac{7^{-7} \times 7^{-8}}{7^{-13}}\), б) \(3^6-\sqrt[10]{32^2}\)

Решение:

Задание 2.

а) Вычисление значения выражения:

1. Сначала упростим числитель, используя свойство степеней \( a^m \times a^n = a^{m+n} \):
   \( 7^{-7} \times 7^{-8} = 7^{-7 + (-8)} = 7^{-15} \)
2. Теперь разделим числитель на знаменатель, используя свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
   \( \frac{7^{-15}}{7^{-13}} = 7^{-15 - (-13)} = 7^{-15 + 13} = 7^{-2} \)
3. Представим отрицательную степень в виде дроби:
   \( 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} \)

б) Вычисление значения выражения:

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
   \( 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} \)
   \( 1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7} \)
2. Вычислим значение в скобках: \( \frac{5}{8} - \frac{8}{3} \). Приведём к общему знаменателю 24:
   \( \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{8 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{15}{24} - \frac{64}{24} = \frac{15 - 64}{24} = -\frac{49}{24} \)
3. Вычислим первое слагаемое: \( 2\frac{1}{3} : (\frac{5}{8}-\frac{8}{3}) \) = \( \frac{7}{3} : (-\frac{49}{24}) \)
4. Деление заменяем умножением на обратную дробь:
   \( \frac{7}{3} \times (-\frac{24}{49}) \)
5. Сократим дроби:
   \( \frac{7}{3} \times (-\frac{3 \cdot 8}{7 \cdot 7}) = -\frac{8}{7} \)
6. Вычислим второе слагаемое:
   \( 2 \cdot 1\frac{3}{7} = 2 \cdot \frac{10}{7} = \frac{20}{7} \)
7. Сложим полученные значения:
   \( -\frac{8}{7} + \frac{20}{7} = \frac{-8 + 20}{7} = \frac{12}{7} \)
8. Представим результат в виде смешанного числа:
   \( \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \)
9. Теперь вычислим \( 3^6 - \sqrt[10]{32^2} \):
   \( 3^6 = 729 \)
   \( \sqrt[10]{32^2} = \sqrt[10]{(2^5)^2} = \sqrt[10]{2^{10}} = 2 \)
10. Вычислим разность:
    \( 729 - 2 = 727 \)

Ответ: а) \(\frac{1}{49}\); б) \(\frac{12}{7}\) или \(1\frac{5}{7}\) и \(727\)