№ 2. Вычислить без помощи микрокалькулятора: a) $$\sqrt[4]{15\frac{5}{8}}:\sqrt[4]{\frac{2}{5}}$$ б) $$\sqrt[3]{\frac{23}{64}}+\sqrt{\frac{5}{48^2-32^2}}$$

Решение:

а)

Запишем смешанное число в виде неправильной дроби:

$$15\frac{5}{8} = \frac{15 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{120+5}{8} = \frac{125}{8}$$

Теперь подставим это значение в выражение:

$$\sqrt[4]{\frac{125}{8}}:\sqrt[4]{\frac{2}{5}} = \sqrt[4]{\frac{125}{8} \div \frac{2}{5}} = \sqrt[4]{\frac{125}{8} \cdot \frac{5}{2}} = \sqrt[4]{\frac{625}{16}}$$

Извлечём корень четвёртой степени:

$$\sqrt[4]{\frac{625}{16}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{5}{2} = 2.5$$

б)

Сначала вычислим знаменатель второго корня:

$$48^2 - 32^2 = (48-32)(48+32) = 16 \cdot 80 = 1280$$

Теперь подставим значения в выражение:

$$\sqrt[3]{\frac{23}{64}}+\sqrt{\frac{5}{1280}} = \sqrt[3]{\frac{23}{64}}+\sqrt{\frac{1}{256}}$$

Извлечём кубический корень из первой дроби и квадратный корень из второй:

$$\sqrt[3]{\frac{23}{64}} = \frac{\sqrt[3]{23}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{\sqrt[3]{23}}{4}$$

$$\sqrt{\frac{1}{256}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{256}} = \frac{1}{16}$$

Сложим полученные значения:

$$\frac{\sqrt[3]{23}}{4} + \frac{1}{16} = \frac{4\sqrt[3]{23}}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4\sqrt[3]{23}+1}{16}$$

Ответ: а) 2.5; б) $$\frac{4\sqrt[3]{23}+1}{16}$$.