2. Вася в течение 10 дней решал задачи — каждый день хотя бы одну. Каждый день (кроме первого), если погода была пасмурная, то он решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а если солнечная — на одну задачу меньше. За первые 9 дней Вася решил 13 задач. Какая погода была на десятый день?

Решение:

Пусть \( x_i \) — количество задач, решённых Васей в \( i \)-й день. По условию, \( x_i \ge 1 \) для всех \( i \) от 1 до 10.

Сумма задач за первые 9 дней равна 13:

\( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 + x_8 + x_9 = 13 \).

Из условия \( x_i \ge 1 \) следует, что минимальная сумма задач за 9 дней равна \( 9 \times 1 = 9 \).

Разница между фактической суммой и минимальной: \( 13 - 9 = 4 \). Это означает, что суммарно за 9 дней Вася решил на 4 задачи больше, чем минимум.

Теперь рассмотрим, как менялось количество решаемых задач:

• Если день пасмурный (кроме первого), \( x_i = x_{i-1} + 1 \).
• Если день солнечный (кроме первого), \( x_i = x_{i-1} - 1 \).

Разница между решёнными задачами в соседние дни (кроме первого дня) равна \( \begin{vmatrix} x_i - x_{i-1} \rvert \rvert = 1 \).

Рассмотрим изменение суммы задач по сравнению с ситуацией, когда каждый день решалась бы 1 задача:

\( (x_1 - 1) + (x_2 - 1) + ... + (x_9 - 1) = 13 - 9 = 4 \).

Обозначим \( y_i = x_i - 1 \) (количество задач сверх минимума в день \( i \)). Тогда \( y_1 + y_2 + ... + y_9 = 4 \) и \( y_i \rvert \rvert \text{изм}} = \begin{cases} 0 \text{ (пасмурно, } x_i=x_{i-1}+1 \text{)} \ -2 \text{ (солнечно, } x_i=x_{i-1}-1 \text{)} \text{, если } x_{i-1} > 1} \ 0 \text{ (солнечно, } x_i=0 \text{, но } x_i \text{ должно быть }
e 0 \text{)} \text{, если } x_{i-1}=1 \text{)} \rvert \rvert

Проще рассмотреть изменение количества задач:

Пусть \( P \) — количество пасмурных дней (с 2 по 9), \( S \) — количество солнечных дней (с 2 по 9). Всего дней с 2 по 9 — 8 дней.

\( P + S = 8 \).

Если день пасмурный, \( x_i = x_{i-1} + 1 \). Если солнечный, \( x_i = x_{i-1} - 1 \).

Изменение общей суммы задач по сравнению с \( x_1 \):

\( x_2 - x_1 = \begin{cases} 1 \text{ (пасмурно)} \ -1 \text{ (солнечно)} \text{, если } x_1 > 1 \text{)} \rvert \rvert

\( x_3 - x_2 = \begin{cases} 1 \text{ (пасмурно)} \ -1 \text{ (солнечно)} \text{, если } x_2 > 1 \text{)} \rvert \rvert

...и так далее.

Общая сумма задач за 9 дней: \( x_1 + (x_1 + \text{изм}_2) + (x_1 + \text{изм}_2 + \text{изм}_3) + ... + (x_1 + \text{изм}_2 + ... + \text{изм}_9) = 13 \).

Каждый пасмурный день (со 2 по 9) увеличивает сумму на 1 по сравнению с предыдущим днем. Каждый солнечный день (со 2 по 9) уменьшает сумму на 1 по сравнению с предыдущим днем. Важно, что \( x_i \rvert \rvert
e 0 \).

Пусть \( P \) — количество пасмурных дней (с 2-го по 9-й), \( S \) — количество солнечных дней (с 2-го по 9-й). Всего 8 дней.

\( P + S = 8 \).

Изменение количества решенных задач за 9 дней по сравнению с \( x_1 \) равно \( P - S \).

\( \begin{vmatrix} \text{сумма за 9 дней} - x_1 \rvert \rvert = \rvert \rvert P - S \rvert \rvert \)

\( 13 - x_1 = P - S \).

Так как \( P + S = 8 \), то \( S = 8 - P \).

\( 13 - x_1 = P - (8 - P) = 2P - 8 \).

\( x_1 = 13 - (2P - 8) = 21 - 2P \).

Так как \( P \) — количество пасмурных дней из 8 (с 2 по 9), \( P \) может принимать значения от 0 до 8.

Также \( x_1 \rvert \rvert
e 0 \) и \( x_i \rvert \rvert
e 0 \).

Если \( P = 0 \) (все 8 дней солнечные), \( x_1 = 21 - 0 = 21 \). Тогда \( x_2 = 20, x_3 = 19, ..., x_9 = 21 - 8 = 13 \). Сумма = \( 21 + 20 + ... + 13 = \frac{(21+13) \times 8}{2} = 34 \times 4 = 136 \). Это не 13.

Условие \( x_i \rvert \rvert
e 0 \) и \( x_i = x_{i-1} \text{ (пасмурно)} + 1 \) или \( x_i = x_{i-1} \text{ (солнечно)} - 1 \) означает, что \( x_i \text{ не может быть меньше 1)} \rvert \rvert.

Рассмотрим другую логику. Пусть \( k \) — количество задач, решённых в первый день. \( k \rvert \rvert
e 0 \).

Обозначим \( p \) — количество пасмурных дней (со 2-го по 9-й), \( s \) — количество солнечных дней (со 2-го по 9-й). \( p + s = 8 \).

Если день пасмурный, задача увеличивается на 1. Если солнечный, уменьшается на 1.

Общее изменение числа задач за 8 дней (со 2-го по 9-й) по сравнению с \( k \) равно \( p \times (+1) + s \times (-1) = p - s \).

Сумма за 9 дней: \( k + (k + (p-s)) + \text{дополнительные изменения} = 13 \). Нет, это не так.

Посмотрим на разницу между каждым днем и первым:

\( x_2 = x_1 \rvert \rvert + d_2 \), \( x_3 = x_1 \rvert \rvert + d_3 \), ..., \( x_9 = x_1 \rvert \rvert + d_9 \).

Где \( d_i \) — изменение по сравнению с \( x_1 \). \( d_i = d_{i-1} + 1 \) (пасмурно) или \( d_i = d_{i-1} - 1 \) (солнечно).

\( d_2 \rvert \rvert \text{может быть } \rvert \rvert = ± 1 \), \( d_3 \rvert \rvert \text{может быть } \rvert \rvert = ± 1 \text{ от } d_2 \), и т.д.

\( x_1 + x_2 + ... + x_9 = 13 \).

\( x_1 + (x_1 + \text{изм}_2) + (x_1 + \text{изм}_2 + \text{изм}_3) + ... + (x_1 + \text{изм}_2 + ... + \text{изм}_9) = 13 \).

\( 9x_1 + 8 \times \text{изм}_2 + 7 \times \text{изм}_3 + ... + 1 \times \text{изм}_9 = 13 \).

\( \text{изм}_i \rvert \rvert = ± 1 \).

Давайте рассуждать иначе. Пусть \( k \) — количество задач в первый день. \( k \rvert \rvert
e 0 \).

Количество задач в последующие дни будет \( k+1 \) или \( k-1 \) (с учётом того, что \( x_i \rvert \rvert
e 0 \)).

Пусть \( p \) — число пасмурных дней (2-9), \( s \) — число солнечных дней (2-9). \( p+s=8 \).

Изменение суммы задач от \( k \) за 8 дней: \( +p \) от пасмурных дней и \( -s \) от солнечных. Итого \( p-s \) изменение.

Общая сумма за 9 дней = \( k + (k + \text{изм}_2) + ... + (k + \text{изм}_2+...+\text{изм}_9) = 9k + \text{суммарное изменение} = 13 \).

Суммарное изменение = \( \begin{vmatrix} \text{сумма за 9 дней} - 9k \rvert \rvert = \rvert \rvert 13 - 9k \rvert \rvert \).

\( 13 - 9k = p - s \).

\( p+s=8
to s=8-p \).

\( 13 - 9k = p - (8-p) = 2p - 8 \).

\( 9k = 13 - (2p - 8) = 21 - 2p \).

\( k = \frac{21 - 2p}{9} \).

Так как \( k \rvert \rvert
e 0 \) и \( k \) — целое число, \( 21 - 2p \) должно делиться на 9. \( p \) — количество пасмурных дней из 8, значит \( 0
le p
le 8 \).

Перебираем возможные значения \( p \):

• \( p=0 \): \( k = 21/9 \) (не целое)
• \( p=1 \): \( k = (21-2)/9 = 19/9 \) (не целое)
• \( p=2 \): \( k = (21-4)/9 = 17/9 \) (не целое)
• \( p=3 \): \( k = (21-6)/9 = 15/9 \) (не целое)
• \( p=4 \): \( k = (21-8)/9 = 13/9 \) (не целое)
• \( p=5 \): \( k = (21-10)/9 = 11/9 \) (не целое)
• \( p=6 \): \( k = (21-12)/9 = 9/9 = 1 \).

Итак, \( k=1 \) (задач в первый день) и \( p=6 \) (пасмурных дней с 2 по 9). Тогда \( s = 8 - 6 = 2 \) (солнечных дней с 2 по 9).

Проверим: \( k=1 \). 6 пасмурных дней, 2 солнечных (с 2 по 9).

\( x_1 = 1 \).

Пусть порядок будет: С, С, П, П, П, П, П, П.

\( x_2 = 1 - 1 = 0 \). Но \( x_i \rvert \rvert
e 0 \). Это не подходит.

Значит, \( k \) не может быть 1, если \( p=6 \) и \( s=2 \), потому что \( x_i \rvert \rvert
e 0 \).

\( p=7 \): \( k = (21-14)/9 = 7/9 \) (не целое)

Мы получили, что \( k \) может быть только 1, если \( p=6 \). Но это приводит к \( x_2=0 \). Это означает, что предположение о \( x_i = x_{i-1} ± 1 \) не совсем точно, если \( x_{i-1}=1 \) и день солнечный.

Если \( x_{i-1} = 1 \) и день солнечный, то \( x_i = 1 - 1 = 0 \), но по условию \( x_i \rvert \rvert
e 0 \). В таком случае, если \( x_{i-1}=1 \) и день солнечный, то \( x_i \) остается 1. Это не уменьшение на 1.

Рассмотрим ещё раз: \( x_1 \). \( x_i \rvert \rvert
e 0 \). \( x_i \rvert \rvert = x_{i-1} + 1 \) (пасмурно, \( i \rvert \rvert
e 1 \)), \( x_i \rvert \rvert = \text{max}(1, x_{i-1}-1) \) (солнечно, \( i \rvert \rvert
e 1 \)).

Сумма за 9 дней = 13.

Минимальная сумма, если все дни решал по 1 задаче = 9.

Разница = 4.

Это означает, что суммарно за 9 дней было 4 «дополнительных» задачи, решённых сверх минимума.

Каждый пасмурный день (со 2-го по 9-й) добавляет 1 задачу к предыдущему дню. Каждый солнечный день (со 2-го по 9-й) уменьшает на 1 (если возможно).

Пусть \( P \) — число пасмурных дней (с 2 по 9), \( S \) — число солнечных дней (с 2 по 9). \( P + S = 8 \).

Если бы \( x_i = x_{i-1} ± 1 \) всегда выполнялось, то \( x_9 = x_1 + P - S \). А сумма \( = 9x_1 + (P-S) \times \frac{8}{2} \). Это сложно.

Попробуем найти \( x_1 \). \( x_1 \) должно быть малым, так как сумма мала.

Если \( x_1 = 1 \): \( 1 + x_2 + ... + x_9 = 13 \). \( x_2 + ... + x_9 = 12 \).

\( x_2 \) может быть 1 (солнечно) или 2 (пасмурно).

Если \( x_1=1 \), \( x_2=1 \) (солнечно), \( x_3=1 \) (солнечно), ..., \( x_9=1 \) (солнечно). Сумма 9. Не 13.

Если \( x_1=1 \), \( x_2=2 \) (пасмурно), \( x_3=3 \) (пасмурно), ..., \( x_7=7 \) (пасмурно). \( 1+2+3+4+5+6+7 = 28 \). Слишком много.

Посмотрим на