2. В ящике 6 деталей, 4 окрашены в желтый цвет, 2 – в зеленый. Извлекли 3 детали. Составить закон распределения ДСВ Х – числа извлеченных зеленых деталей. Найти MX, DX, δ(X), F(X), построить график F(X) и многоугольник распределения ДСВ X.

Задание 2

1. Составить закон распределения ДСВ Х – числа извлеченных зеленых деталей.

Всего деталей в ящике: 6 (4 желтых, 2 зеленых).

Извлекаем 3 детали.

Возможные значения случайной величины Х (число зеленых деталей): 0, 1, 2.

Расчет вероятностей:

Общее число способов выбрать 3 детали из 6: C(6, 3) = 6! / (3! * (6-3)!) = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1) = 20.

P(X=0) (0 зеленых, 3 желтых):

Число способов выбрать 0 зеленых из 2: C(2, 0) = 1.

Число способов выбрать 3 желтых из 4: C(4, 3) = 4! / (3! * 1!) = 4.

P(X=0) = (C(2, 0) * C(4, 3)) / C(6, 3) = (1 * 4) / 20 = 4/20 = 0.2

P(X=1) (1 зеленая, 2 желтых):

Число способов выбрать 1 зеленую из 2: C(2, 1) = 2.

Число способов выбрать 2 желтых из 4: C(4, 2) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3) / (2 * 1) = 6.

P(X=1) = (C(2, 1) * C(4, 2)) / C(6, 3) = (2 * 6) / 20 = 12/20 = 0.6

P(X=2) (2 зеленых, 1 желтая):

Число способов выбрать 2 зеленых из 2: C(2, 2) = 1.

Число способов выбрать 1 желтую из 4: C(4, 1) = 4.

P(X=2) = (C(2, 2) * C(4, 1)) / C(6, 3) = (1 * 4) / 20 = 4/20 = 0.2

Закон распределения:

Проверка: 0.2 + 0.6 + 0.2 = 1.0

2. Найти MX (Математическое ожидание)

MX = ∑(x_i * P(X=x_i))

MX = 0 * 0.2 + 1 * 0.6 + 2 * 0.2 = 0 + 0.6 + 0.4 = 1

3. Найти DX (Дисперсию)

Сначала найдем MX²:

MX² = ∑(x_i² * P(X=x_i))

MX² = 0² * 0.2 + 1² * 0.6 + 2² * 0.2

MX² = 0 * 0.2 + 1 * 0.6 + 4 * 0.2 = 0 + 0.6 + 0.8 = 1.4

DX = MX² - (MX)²

DX = 1.4 - (1)² = 1.4 - 1 = 0.4

4. Найти δ(X) (Среднеквадратическое отклонение)

δ(X) = √(DX)

δ(X) = √(0.4) ≈ 0.632

5. Построить график F(X) (Функция распределения)

Функция распределения F(x) = P(X ≤ x)

• При x < 0: F(x) = 0
• При 0 ≤ x < 1: F(x) = P(X ≤ x) = P(X=0) = 0.2
• При 1 ≤ x < 2: F(x) = P(X ≤ x) = P(X=0) + P(X=1) = 0.2 + 0.6 = 0.8
• При x ≥ 2: F(x) = P(X ≤ x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.2 + 0.6 + 0.2 = 1

График функции распределения будет ступенчатым:

6. Построить многоугольник распределения ДСВ X

Многоугольник распределения — это ломаная, соединяющая точки (x_i, P(X=x_i)).

Ответ:

• Закон распределения: X={0, 1, 2}, P(X=x)={0.2, 0.6, 0.2}
• MX = 1
• DX = 0.4
• δ(X) ≈ 0.632
• График F(X) и многоугольник распределения построены выше.