2. В треугольнике MNP точка К лежит на стороне MN, причём угол NKP острый. Докажите, что KP < MP.

Решение:

Дано: \( \triangle MNP \), \( K \in MN \), \( \angle NKP < 90° \).

Доказать: \( KP < MP \).

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle NKP \). По условию, \( \angle NKP \) — острый.
2. В \( \triangle MNP \) угол ∠MNP является одним из углов.
3. Угол ∠NKP — это внешний угол треугольника KMP при вершине K.
4. Сумма углов в \( \triangle KMP \) равна 180°.
5. \( \angle NKP + \angle PKM = 180° \) (смежные углы).
6. Так как \( \angle NKP < 90° \), то \( \angle PKM = 180° - \angle NKP > 180° - 90° = 90° \).
7. Итак, в \( \triangle KMP \) угол ∠PKM — тупой (или прямой, если \( \angle NKP = 90° \)).
8. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В \( \triangle KMP \) угол ∠PKM является наибольшим, так как он тупой (или прямой), а два других угла (∠KMP и ∠MPK) должны быть острыми.
9. Следовательно, сторона, противолежащая углу ∠PKM, то есть сторона MP, является наибольшей стороной в \( \triangle KMP \).
10. Таким образом, \( KP < MP \).

Что и требовалось доказать.