2. В треугольнике MNP точка К лежит на стороне MN, причем ∠NKP острый. Докажите, что KP < MP.

Условие:

• Дан треугольник MNP.
• Точка K лежит на стороне MN.
• Угол ∠NKP острый (т.е. < 90°).

Требуется доказать: KP < MP.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник NKP: Угол ∠NKP является острым.
2. Рассмотрим треугольник KMP:
3. Внешний угол: Угол ∠NKP является внешним углом для треугольника KMP, если точка K лежит между M и N. Однако, по условию, K лежит на стороне MN.
4. Рассмотрим треугольник KNP: Угол ∠NKP — острый.
5. Сравнение сторон в треугольнике: В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона.
6. Сравним углы ∠NKP и ∠PKM: Углы ∠NKP и ∠PKM являются смежными, так как K лежит на MN. Следовательно, \[ \angle PKM = 180^{\circ} - \angle NKP \]
7. Поскольку ∠NKP острый (< 90°), то ∠PKM будет тупым (> 90°).
8. В треугольнике KMP: Угол ∠PKM является тупым.
9. Сравнение сторон KP и MP: В треугольнике KMP, напротив тупого угла ∠PKM лежит сторона MP. Напротив острого угла ∠KMP (или ∠NMP) лежит сторона KP.
10. Вывод: Так как MP лежит напротив большего (тупого) угла ∠PKM, а KP лежит напротив меньшего (острого) угла ∠KMP, то MP > KP.
11. Следовательно, KP < MP.

Доказано.