2.В треугольнике АВС угол C равен 90°, М-середина стороны АВ, AB=20, BC=10. Найдите СМ.

Решение:

1. Свойства медианы в прямоугольном треугольнике:

• В прямоугольном треугольнике ΑABC (угол C = 90°) проведена медиана CM к гипотенузе AB.
• Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

2. Применение свойства:

• Длина гипотенузы AB = 20.
• Медиана CM = \( \frac{1}{2} \) AB.
• \[ CM = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \]

3. Проверка с помощью теоремы Пифагора (необязательно, для понимания):

• Сначала найдем AC. По теореме Пифагора:
• \[ AC^2 = AB^2 - BC^2 \]
• \[ AC^2 = 20^2 - 10^2 = 400 - 100 = 300 \]
• \[ AC = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \]
• M — середина AB, значит AM = MB = 10.
• Рассмотрим ΑBMC. Стороны BM = 10, BC = 10. Это равнобедренный треугольник.
• Чтобы найти CM, можно использовать теорему косинусов или найти координаты.
• Если M — середина AB, то координаты M = ( (A_x + B_x)/2, (A_y + B_y)/2 ).
• Пусть C=(0,0), B=(0,10), A=(10\sqrt{3}, 0).
• M = ( (10\sqrt{3} + 0)/2, (0 + 10)/2 ) = (5\sqrt{3}, 5).
• CM = \( \sqrt{(5\sqrt{3}-0)^2 + (5-0)^2} \) = \( \sqrt{(25 \cdot 3) + 25} \) = \( \sqrt{75 + 25} \) = \( \sqrt{100} \) = 10.
• Результат совпадает.

Ответ: 10