2. В треугольнике АВС АО и СО — биссектрисы внешних углов CAD И ACE (см. рисунок). Найдите ∠B, если ∠AOC = 59°.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• АО — биссектриса внешнего угла CAD
• СО — биссектриса внешнего угла ACE
• \[ \angle AOC = 59^{\circ} \]

Найти:

• \[ \angle B \]

Решение:

1. Свойства биссектрисы: Биссектриса делит угол пополам.
2. Внешний угол треугольника: Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
3. Сумма углов в треугольнике: Сумма углов любого треугольника равна 180°.
4. Рассмотрим треугольник AOC:
• \[ \angle CAD = \angle CAB + \angle BAD \]
• \[ \angle ACE = \angle ACB + \angle BCE \]
• Так как AO и CO — биссектрисы внешних углов, то:
• \[ \angle CAO = \frac{1}{2} \angle CAD \]
• \[ \angle ACO = \frac{1}{2} \angle ACE \]
• В треугольнике AOC:
• \[ \angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^{\circ} \]
• \[ \frac{1}{2} \angle CAD + \frac{1}{2} \angle ACE + 59^{\circ} = 180^{\circ} \]
• \[ \frac{1}{2} (\angle CAD + \angle ACE) = 180^{\circ} - 59^{\circ} \]
• \[ \frac{1}{2} (\angle CAD + \angle ACE) = 121^{\circ} \]
• \[ \angle CAD + \angle ACE = 242^{\circ} \]
5. Связь внешних углов с внутренними углами треугольника ABC:
• \[ \angle CAD = 180^{\circ} - \angle CAB \]
• \[ \angle ACE = 180^{\circ} - \angle ACB \]
• Подставим это в предыдущее уравнение:
• \[ (180^{\circ} - \angle CAB) + (180^{\circ} - \angle ACB) = 242^{\circ} \]
• \[ 360^{\circ} - (\angle CAB + \angle ACB) = 242^{\circ} \]
• \[ \angle CAB + \angle ACB = 360^{\circ} - 242^{\circ} \]
• \[ \angle CAB + \angle ACB = 118^{\circ} \]
6. Находим угол B:
• В треугольнике ABC:
• \[ \angle B + \angle CAB + \angle ACB = 180^{\circ} \]
• \[ \angle B + 118^{\circ} = 180^{\circ} \]
• \[ \angle B = 180^{\circ} - 118^{\circ} \]
• \[ \angle B = 62^{\circ} \]

Ответ: 62°