2. В треугольнике ABC ∠C = 90°, СС₁ — высота, СС₁ = 5 см, ВС = 10 см. Найдите ∠CAB.

Привет! Разберем эту задачу по геометрии.

Дано:

• Треугольник ABC
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• CC₁ — высота
• \[ CC_1 = 5 \text{ см} \]
• \[ BC = 10 \text{ см} \]

Найти:

• \[ \angle CAB \]

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник CC₁B. В нем:

• \[ \angle CC_1B = 90^{\circ} \] (потому что CC₁ — высота)
• \[ BC = 10 \text{ см} \] (гипотенуза)
• \[ CC_1 = 5 \text{ см} \] (катет, противолежащий углу ∠CBC₁)

Вспомним тригонометрию. Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

\[ \sin(\angle CBC_1) = \frac{CC_1}{BC} \]

\[ \sin(\angle CBC_1) = \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = \frac{1}{2} \]

Угол, синус которого равен 1/2, это 30 градусов. Значит, \[ \angle CBC_1 = 30^{\circ} \].

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что \[ \angle C = 90^{\circ} \]. Сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусов.

\[ \angle CAB + \angle CBA + \angle C = 180^{\circ} \]

Здесь \[ \angle CBA \] — это тот же угол, что и \[ \angle CBC_1 \].

\[ \angle CAB + 30^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle CAB + 120^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle CAB = 180^{\circ} - 120^{\circ} \]

\[ \angle CAB = 60^{\circ} \]

Ответ: 60°.