2. В треугольнике ABC ∠C = 90°, CC₁ - высота, CC₁ = 5 см, BC = 10 см. Найти: ∠CAB.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \).
2. CC₁ — высота, проведенная к гипотенузе AB.
3. По условию \( CC_1 = 5 \text{ см} \) и \( BC = 10 \text{ см} \).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCC₁. В нем \( \angle CC_1B = 90^{\circ} \) и \( \angle C = 90^{\circ} \) в \( \triangle ABC \).
5. В \( \triangle BCC_1 \): \( \angle C_1BC + \angle BC C_1 = 90^{\circ} \). \( \angle C_1BC \) — это \( \angle ABC \).
6. В \( \triangle ABC \): \( \angle CAB + \angle ABC = 90^{\circ} \).
7. Рассмотрим \( \triangle BCC_1 \). У нас есть гипотенуза \( BC = 10 \text{ см} \) и катет \( CC_1 = 5 \text{ см} \).
8. В \( \triangle BCC_1 \) имеем \( \sin(\angle CBC_1) = \frac{CC_1}{BC} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).
9. Следовательно, \( \angle CBC_1 = \angle ABC = 30^{\circ} \).
10. Теперь найдем \( \angle CAB \) в \( \triangle ABC \): \( \angle CAB = 90^{\circ} - \angle ABC = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Ответ: ∠CAB = 60°.