2. В прямоугольной трапеции острый угол равен 60°. Большая боковая сторона и большее основание равны по 20 см. Найдите меньшее основание.

Решение:

Пусть данная трапеция — ABCD, где AB — высота (перпендикулярна основаниям AD и BC), BC — большее основание, AD — меньшее основание. Угол \( \angle BCD = 60^{\circ} \) (острый угол). Большая боковая сторона (BC) и большее основание (BC) равны 20 см. Следовательно, \( BC = 20 \) см.

Так как это прямоугольная трапеция, то \( \angle ABC = 90^{\circ} \) и \( \angle BAD = 90^{\circ} \).

Большая боковая сторона равна 20 см. В прямоугольной трапеции боковые стороны — это высота (AB) и наклонная сторона (CD). По условию, большая боковая сторона равна 20 см. Из рисунка видно, что CD является большей боковой стороной, чем AB, если \( \angle BCD \) острый.

Переформулируем условие:

В прямоугольной трапеции ABCD (AB \(\perp\) AD, AB \(\perp\) BC), \( \angle BCD = 60^{\circ} \). Большее основание BC = 20 см. Большая боковая сторона CD = 20 см.

Проведем высоту из вершины D к основанию BC. Обозначим точку пересечения как H. Получится прямоугольник ABHD, следовательно, \( AD = BH \) и \( AB = DH \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник DHC:

\( \angle DCH = 60^{\circ} \) (угол при основании трапеции)

\( \angle DHC = 90^{\circ} \) (так как DH — высота)

\( CH = BC - BH = BC - AD \)

В треугольнике DHC:

\( \cos(\angle DCH) = \frac{CH}{CD} \)

\( \cos(60^{\circ}) = \frac{CH}{20} \)

\( 0.5 = \frac{CH}{20} \)

\( CH = 20 \cdot 0.5 = 10 \) см.

Теперь найдём высоту AB (она же DH):

\( \sin(\angle DCH) = \frac{DH}{CD} \)

\( \sin(60^{\circ}) = \frac{DH}{20} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{DH}{20} \)

\( DH = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \) см.

Так как ABHD — прямоугольник, то \( AB = DH = 10\sqrt{3} \) см.

Найдем меньшее основание AD:

\( AD = BH \)

\( CH = BC - BH \)

\( 10 = 20 - BH \)

\( BH = 20 - 10 = 10 \) см.

Значит, \( AD = 10 \) см.

Ответ: Меньшее основание трапеции равно 10 см.