2. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС равен 3 см, угол В равен 15°. На катете ВС отмечена точка D так, что угол BAD равен 15°. Найдите длину отрезка AD.

Решение:

Дано: ╁ABC — прямоугольный (∠C = 90°), AC = 3 см, ∠B = 15°, D ∈ BC, ∠BAD = 15°.

Найти: AD.

1. Найдем ∠BAC: В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Следовательно, ∠BAC = 90° - ∠B = 90° - 15° = 75°.
2. Найдем ∠CAD: ∠CAD = ∠BAC - ∠BAD = 75° - 15° = 60°.
3. Найдем BC: В ╁ABC, tg(∠B) = AC / BC. Отсюда BC = AC / tg(∠B) = 3 / tg(15°).

Значение tg(15°) можно найти, используя формулу tg(a - b) = (tg(a) - tg(b)) / (1 + tg(a)tg(b)). Возьмем a=45°, b=30°:

tg(15°) = tg(45° - 30°) = (tg(45°) - tg(30°)) / (1 + tg(45°)tg(30°)) = (1 - 1/√3) / (1 + 1 × 1/√3) = (√3 - 1) / (√3 + 1) = ((√3 - 1)²) / ((√3)² - 1²) = (3 - 2√3 + 1) / (3 - 1) = (4 - 2√3) / 2 = 2 - √3.

Значит, BC = 3 / (2 - √3) = 3 * (2 + √3) / ((2 - √3)(2 + √3)) = 3 * (2 + √3) / (4 - 3) = 6 + 3√3.

4. Рассмотрим ╁ACD: Это прямоугольный треугольник (∠C = 90°). Мы знаем AC = 3 см и ∠CAD = 60°.
5. Найдем AD: В ╁ACD, cos(∠CAD) = AC / AD. Отсюда AD = AC / cos(∠CAD) = 3 / cos(60°) = 3 / (1/2) = 6 см.

Ответ: AD = 6 см.