2. Упростите выражения, используя формулы двойного угла: a) sin 2a / (2 sin a) b) cos² a – cos 2a

Решение:

Используем формулы двойного угла:

• \( \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \)
• \( \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha \)

а) Упрощение \( \frac{\sin 2a}{2 \sin a} \):

Подставим формулу для \( \sin 2a \):

\( \frac{\sin 2a}{2 \sin a} = \frac{2 \sin a \cos a}{2 \sin a} \)

Сократим \( 2 \sin a \):

\( \frac{2 \sin a \cos a}{2 \sin a} = \cos a \)

б) Упрощение \( \cos^2 a - \cos 2a \):

Подставим одну из формул для \( \cos 2a \). Выберем ту, которая содержит \( \cos^2 a \), чтобы получить упрощение:

\( \cos 2a = 2 \cos^2 a - 1 \)

Подставим это в исходное выражение:

\( \cos^2 a - \cos 2a = \cos^2 a - (2 \cos^2 a - 1) = \cos^2 a - 2 \cos^2 a + 1 = 1 - \cos^2 a \)

По основному тригонометрическому тождеству, \( 1 - \cos^2 a = \sin^2 a \).

Ответ: а) \( \cos a \); б) \( \sin^2 a \).