2. Упростите выражение: a) \( \frac{a}{3b} \cdot \frac{b^{2}}{a^{2} b^{2}} \) b) \( \frac{a^{2}}{3b} : \frac{b}{3a \cdot 5a} \) в) \( \frac{a^{2}}{3b} : \frac{b}{3a \cdot 5a} \) г) \( \frac{a^{2}}{3b} : \frac{b}{3a \cdot 5a} \)

Решение:

1. а) \( \frac{a}{3b} \cdot \frac{b^{2}}{a^{2} b^{2}} = \frac{a \cdot b^{2}}{3b \cdot a^{2} b^{2}} \)
2. Сокращаем числитель и знаменатель: \( \frac{\cancel{a} \cdot \cancel{b^{2}}}{3b \cdot a^{\cancel{2}} \cancel{b^{2}}} = \frac{1}{3a b} \)
3. б) \( \frac{a^{2}}{3b} : \frac{b}{3a \cdot 5a} = \frac{a^{2}}{3b} \cdot \frac{3a \cdot 5a}{b} \)
4. Вычисляем знаменатель в дроби: \( 3a \cdot 5a = 15a^{2} \).
5. Получаем: \( \frac{a^{2}}{3b} \cdot \frac{15a^{2}}{b} = \frac{a^{2} \cdot 15a^{2}}{3b \cdot b} = \frac{15a^{4}}{3b^{2}} \)
6. Сокращаем: \( \frac{\cancel{15}^{5}a^{4}}{\cancel{3}b^{2}} = \frac{5a^{4}}{b^{2}} \)
7. в) \( \frac{a^{2}}{3b} : \frac{b}{3a \cdot 5a} \). Этот пример идентичен пункту б), поэтому решение такое же.
8. \( \frac{a^{2}}{3b} \cdot \frac{15a^{2}}{b} = \frac{5a^{4}}{b^{2}} \)
9. г) \( \frac{a^{2}}{3b} : \frac{b}{3a \cdot 5a} \). Этот пример также идентичен пункту б) и в).
10. \( \frac{a^{2}}{3b} \cdot \frac{15a^{2}}{b} = \frac{5a^{4}}{b^{2}} \)

Ответ: а) \( \frac{1}{3ab} \); б) \( \frac{5a^{4}}{b^{2}} \); в) \( \frac{5a^{4}}{b^{2}} \); г) \( \frac{5a^{4}}{b^{2}} \).