2. Упростите выражение: a) \(\frac{7^n - 7^{-n}}{1 - 49^n}\);

Решение:

Упростим выражение \(\frac{7^n - 7^{-n}}{1 - 49^n}\).

1. Преобразуем \( 7^{-n} \) и \( 49^n \):
• \( 7^{-n} = \frac{1}{7^n} \)
• \( 49^n = (7^2)^n = (7^n)^2 \)
2. Подставим в числитель:
• \( 7^n - 7^{-n} = 7^n - \frac{1}{7^n} = \frac{(7^n)^2 - 1}{7^n} = \frac{49^n - 1}{7^n} \)
3. Теперь выражение выглядит так:
• \(\frac{\frac{49^n - 1}{7^n}}{1 - 49^n}\)
4. Разделим дробь на дробь:
• \(\frac{49^n - 1}{7^n} \div (1 - 49^n) = \frac{49^n - 1}{7^n} \cdot \frac{1}{1 - 49^n} \)
5. Заметим, что \( 49^n - 1 = -(1 - 49^n) \). Подставим это:
• \(\frac{-(1 - 49^n)}{7^n} \cdot \frac{1}{1 - 49^n} \)
6. Сократим \( 1 - 49^n \):
• \(\frac{-1}{7^n} = -7^{-n} \)

Ответ: \( -7^{-n} \).