№2. Упрости выражение и найди его значение. \(\frac{4}{5} b + 1\frac{1}{2} + 3\frac{1}{5} b + \frac{2}{3}, если b = 1\frac{1}{3}\)

Решение:

1. Сгруппируем слагаемые с переменной \( b \) и свободные члены: \( \left( \frac{4}{5} b + 3\frac{1}{5} b \right) + \left( 1\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \right) \)
2. Приведём смешанные числа к неправильным дробям: \( 3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5} \); \( 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} \).
3. Сложим слагаемые с \( b \): \( \frac{4}{5} b + \frac{16}{5} b = \frac{4+16}{5} b = \frac{20}{5} b = 4b \).
4. Приведём дроби \( \frac{3}{2} \) и \( \frac{2}{3} \) к общему знаменателю 6: \( \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6} \); \( \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} \).
5. Сложим свободные члены: \( \frac{9}{6} + \frac{4}{6} = \frac{9+4}{6} = \frac{13}{6} \).
6. Получим упрощённое выражение: \( 4b + \frac{13}{6} \).
7. Подставим значение \( b = 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} \): \( 4 \cdot \frac{4}{3} + \frac{13}{6} \).
8. Выполним умножение: \( \frac{16}{3} + \frac{13}{6} \).
9. Приведём дроби к общему знаменателю 6: \( \frac{16 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{32}{6} \).
10. Сложим дроби: \( \frac{32}{6} + \frac{13}{6} = \frac{32+13}{6} = \frac{45}{6} \).
11. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: \( \frac{45}{6} = \frac{15}{2} \).
12. Представим результат в виде смешанного числа: \( \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} \).

Ответ: \( 7\frac{1}{2} \).