1) «Рано, Петр Андреич, — сказал он мне, качая головою, — рано начинаешь гулять. И в кого ты пошёл?» — Здесь всё верно. Слова автора разделены тише, прямая речь оформлена правильно.
2) Я отвернулся и сказал ему: «Поди вон, Савельич; я чаю не хочу». — Здесь пунктуация верная. После слов автора ставится двоеточие, перед прямой речью — кавычки. Внутри прямой речи точка с запятой уместна.
3) Что же ты стоишь»! — закричал я сердито. — Вот здесь ошибка! Восклицательный знак должен стоять ПЕРЕД закрывающими кавычками, а не после них. После слов автора (закричал я сердито) ставится тире.
4) «Полно врать, — прервал я строго, — подавай сюда деньги или я тебя взашей прогоню». — Оформление прямой речи верное. Слова автора разрывают прямую речь, поэтому используются тире и запятые.