2. Тип Д13 № 150 В треугольнике АВС угол C равен 90°, sinA=7/25. Найдите sinB.

Привет! Давай решим эту задачку по тригонометрии. У нас есть прямоугольный треугольник ABC, угол C = 90°. Нам дано, что sin A = 7/25. Нужно найти sin B.

Свойства прямоугольного треугольника:

В любом прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. То есть:

• \[ A + B = 90^{\circ} \]

Это значит, что углы A и B являются дополнительными.

Связь синуса и косинуса дополнительных углов:

Существует важное тригонометрическое свойство: синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла в прямоугольном треугольнике. То есть:

• \[ \sin A = \cos B \]
• \[ \cos A = \sin B \]

Решение:

Нам нужно найти \[ \sin B \]

. Используя свойство дополнительных углов, мы знаем, что:

• \[ \sin B = \cos A \]

Теперь нам нужно найти \[ \cos A \]

. Мы можем использовать основное тригонометрическое тождество:

• \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \]

Подставим известное значение \[ \sin A = \frac{7}{25} \]

:

• \[ \left(\frac{7}{25}\right)^2 + \cos^2 A = 1 \]
• \[ \frac{49}{625} + \cos^2 A = 1 \]

Выразим \[ \cos^2 A \]

:

• \[ \cos^2 A = 1 - \frac{49}{625} \]
• \[ \cos^2 A = \frac{625}{625} - \frac{49}{625} \]
• \[ \cos^2 A = \frac{576}{625} \]

Извлечем квадратный корень (в прямоугольном треугольнике косинус острого угла положителен):

• \[ \cos A = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25} \]

Так как \[ \sin B = \cos A \]

, то:

• \[ \sin B = \frac{24}{25} \]

Ответ:

\[ \sin B = \frac{24}{25} \]