№2. Стороны треугольника равны 9 см, 10 см и 17 см. Найдите наименьшую высоту треугольника, радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей.

Полупериметр треугольника:

\[p=\frac{9+10+17}{2}=18\text{ см}.\]

По формуле Герона найдём площадь:

\[S=\sqrt{18(18-9)(18-10)(18-17)}=\sqrt{18\cdot9\cdot8\cdot1}=36\text{ см}^2.\]

Наименьшая высота проведена к наибольшей стороне, то есть к стороне 17 см:

\[h_{\min}=\frac{2S}{17}=\frac{72}{17}\text{ см}.\]

Радиус вписанной окружности:

\[r=\frac{S}{p}=\frac{36}{18}=2\text{ см}.\]

Радиус описанной окружности:

\[R=\frac{abc}{4S}=\frac{9\cdot10\cdot17}{4\cdot36}=\frac{85}{8}\text{ см}.\]

Ответ: \(h_{\min}=\frac{72}{17}\) см, \(r=2\) см, \(R=\frac{85}{8}\) см.