2) Стороны основания правильной пирамиды равны 6 см, а высота $$\sqrt{13}$$ см. Найти площадь боковой поверхности и объем пирамиды.

Дано:

• Правильная пирамида.
• Сторона основания (a) = 6 см.
• Высота пирамиды (H) = $$\sqrt{13}$$ см.

Найти:

• Площадь боковой поверхности (S_бок)
• Объем пирамиды (V)

Решение:

1. Находим площадь основания (S_осн):
   Основание правильной пирамиды — квадрат. Площадь квадрата равна стороне в квадрате.
   \[ S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2 \]
2. Находим апофему боковой грани (h):
   В основании правильной пирамиды лежит квадрат. Расстояние от центра основания до середины стороны квадрата равно половине стороны (это радиус вписанной окружности, $$r = a/2$$).
   $$r = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}$$.
   Апофема ($$h$$) — это катет прямоугольного треугольника, где другой катет — высота пирамиды ($$H$$), а гипотенуза — апофема.
   \[ h = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 + 3^2} = \sqrt{13 + 9} = \sqrt{22} \text{ см} \]
3. Находим площадь боковой поверхности (S_бок):
   Площадь боковой поверхности пирамиды равна полупериметру основания, умноженному на апофему.
   Периметр основания (P) = $$4 \cdot a = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}$$.
   Полупериметр (p) = $$P/2 = 24/2 = 12 \text{ см}$$.
   \[ S_{бок} = p \cdot h = 12 \cdot \sqrt{22} = 12\sqrt{22} \text{ см}^2 \]
4. Находим объем пирамиды (V):
   Объем пирамиды равен одной трети площади основания, умноженной на высоту.
   \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \]
5. Подставляем значения:
   \[ V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot \sqrt{13} = 12\sqrt{13} \text{ см}^3 \]

Ответ:

• Площадь боковой поверхности: $$12\sqrt{22}$$ см².
• Объем пирамиды: $$12\sqrt{13}$$ см³.