2. Симметричную монету бросают 11 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет 4 орла»?

Решение:

Это также задача на биномиальное распределение. Формула Бернулли: \( P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \).

В данной задаче:

• \( n = 11 \) (11 бросков монеты)
• \( p = 0.5 \) (вероятность выпадения орла для симметричной монеты)
• \( q = 1 - p = 1 - 0.5 = 0.5 \) (вероятность выпадения решки)

Найдем вероятность того, что выпадет ровно 5 орлов (k=5):

\[ P(X=5) = C_{11}^5 \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{11-5} = C_{11}^5 \cdot (0.5)^{11} \]

\[ C_{11}^5 = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 462 \]

\[ P(X=5) = 462 \cdot (0.5)^{11} \]

Найдем вероятность того, что выпадет ровно 4 орла (k=4):

\[ P(X=4) = C_{11}^4 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{11-4} = C_{11}^4 \cdot (0.5)^{11} \]

\[ C_{11}^4 = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 10 \cdot 3 = 330 \]

\[ P(X=4) = 330 \cdot (0.5)^{11} \]

Теперь найдем, во сколько раз вероятность выпадения ровно 5 орлов больше вероятности выпадения ровно 4 орла:

\[ \frac{P(X=5)}{P(X=4)} = \frac{462 \cdot (0.5)^{11}}{330 \cdot (0.5)^{11}} = \frac{462}{330} \]

Сократим дробь:

\[ \frac{462}{330} = \frac{231}{165} = \frac{77}{55} = \frac{7}{5} = 1.4 \]

Ответ: вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет 4 орла» в 1.4 раза.