2) Сформулируйте и докажите свойства диагоналей ромба.

Свойства диагоналей ромба:

• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
• Диагонали ромба делят его углы пополам.
• Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство (одно из свойств):

Свойство: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Доказательство:

1. Пусть ABCD — ромб, а O — точка пересечения его диагоналей AC и BD.
2. Поскольку ромб является параллелограммом, его диагонали точкой пересечения делятся пополам: AO = OC и BO = OD.
3. Рассмотрим треугольники AOB и COB.
• AB = CB (стороны ромба).
• AO = CO (диагонали точкой пересечения делятся пополам).
• BO — общая сторона.
4. Следовательно, треугольники AOB и COB равны по трем сторонам (по признаку равенства треугольников).
5. Из равенства треугольников следует, что ∠ AOB = ∠ COB.
6. Так как ∠ AOB и ∠ COB — смежные углы, их сумма равна 180°.
7. Тогда 2∠ AOB = 180°, откуда ∠ AOB = 90°.
8. Таким образом, диагонали ромба пересекаются под прямым углом.