2. Сечение цилиндра, параллельное его оси и удалённое от него на расстояние d, отсекает треть дуги окружности основания. Диагональ сечения образует с высотой цилиндра угол α. Найдите боковую поверхность цилиндра.

Сечение цилиндра, параллельное его оси, является прямоугольником. Его ширина равна длине хорды, отсекающей дугу в одну треть окружности.

Центральный угол, соответствующий этой дуге:

\(\varphi=\frac{1}{3}\cdot360^\circ=120^\circ\).

Расстояние от центра окружности до хорды:

\(d=R\cos\frac{\varphi}{2}=R\cos60^\circ=\frac{R}{2}\), поэтому \(R=2d\).

Ширина прямоугольного сечения равна длине хорды:

\(a=2R\sin60^\circ=2\cdot2d\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3d\).

Если диагональ образует с высотой угол \(\alpha\), то

\(\tan\alpha=\frac{a}{h}\), откуда \(h=a\cot\alpha=2\sqrt3d\cot\alpha\).

Боковая поверхность цилиндра:

\(S_{\text{бок}}=2\pi Rh=2\pi\cdot2d\cdot2\sqrt3d\cot\alpha\).

Ответ: \(S_{\text{бок}}=8\sqrt3\pi d^2\cot\alpha\).