2. Решите уравнение 2 tg²x - tgx - 3 = 0

Решение:

Введем замену переменной \( t = \text{tg } x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2t^2 - t - 3 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

\[ t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5 \]

\[ t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Теперь вернемся к замене \( t = \text{tg } x \):

1. \( \text{tg } x = 1.5 \)

\[ x = \text{arctg}(1.5) + πn, \quad n ∈ ℤ \]

2. \( \text{tg } x = -1 \)

\[ x = -\frac{π}{4} + πk, \quad k ∈ ℤ \]

Ответ: \( x = \text{arctg}(1.5) + πn \) и \( x = -\frac{π}{4} + πk \), где \( n, k ∈ ℤ \).