2. Решите систему графически: a) { y + x = 4; y - x = 2 б) { 4x + y = 3; x + 4y = -3.

Решение:

Для решения системы уравнений графическим способом, необходимо построить графики обоих уравнений и найти точку их пересечения.

а) Система уравнений:

\( \begin{cases} y + x = 4 \\ y - x = 2 \end{cases} \)

Преобразуем уравнения к виду \( y = kx + b \):

1) \( y = -x + 4 \)

2) \( y = x + 2 \)

Построим графики этих линейных функций. Точка пересечения графиков и будет решением системы.

Из первого уравнения: если \( x = 0 \), то \( y = 4 \). Точка (0; 4).

Из первого уравнения: если \( y = 0 \), то \( x = 4 \). Точка (4; 0).

Из второго уравнения: если \( x = 0 \), то \( y = 2 \). Точка (0; 2).

Из второго уравнения: если \( y = 0 \), то \( x = -2 \). Точка (-2; 0).

Решая систему подстановкой или сложением, найдем точку пересечения:

\( y = -x + 4 \)

\( y = x + 2 \)

Приравниваем правые части:

\( -x + 4 = x + 2 \)

\( 4 - 2 = x + x \)

\( 2 = 2x \)

\( x = 1 \)

Подставляем \( x = 1 \) во второе уравнение:

\( y = 1 + 2 = 3 \)

Точка пересечения: (1; 3).

Ответ: (1; 3)

б) Система уравнений:

\( \begin{cases} 4x + y = 3 \\ x + 4y = -3 \end{cases} \)

Преобразуем уравнения к виду \( y = kx + b \):

1) \( y = -4x + 3 \)

2) \( 4y = -x - 3 \)

\( y = -\frac{1}{4}x - \frac{3}{4} \)

Построим графики этих линейных функций.

Для первого уравнения \( y = -4x + 3 \):

Если \( x = 0 \), то \( y = 3 \). Точка (0; 3).

Если \( y = 0 \), то \( -4x + 3 = 0 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{4} \). Точка (\( \frac{3}{4} \); 0).

Для второго уравнения \( y = -\frac{1}{4}x - \frac{3}{4} \):

Если \( x = 0 \), то \( y = -\frac{3}{4} \). Точка (0; -\( \frac{3}{4} \)).

Если \( y = 0 \), то \( -\frac{1}{4}x - \frac{3}{4} = 0 \Rightarrow \frac{1}{4}x = -\frac{3}{4} \Rightarrow x = -3 \). Точка (-3; 0).

Решая систему подстановкой или сложением, найдем точку пересечения:

\( y = -4x + 3 \)

\( y = -\frac{1}{4}x - \frac{3}{4} \)

Приравниваем правые части:

\( -4x + 3 = -\frac{1}{4}x - \frac{3}{4} \)

Умножим все на 4, чтобы избавиться от дробей:

\( -16x + 12 = -x - 3 \)

\( 12 + 3 = -x + 16x \)

\( 15 = 15x \)

\( x = 1 \)

Подставляем \( x = 1 \) в первое уравнение:

\( y = -4(1) + 3 \)

\( y = -4 + 3 \)

\( y = -1 \)

Точка пересечения: (1; -1).

Ответ: (1; -1)