2. Решите неравенство: a) (x + 1)(x - 2)(x - 4) < 0; б) (x² - 2x)(4x + 2) ≥0.

Решение:

а) Решим неравенство \( (x + 1)(x - 2)(x - 4) < 0 \) методом интервалов.

1. Найдем корни уравнения \( (x + 1)(x - 2)(x - 4) = 0 \). Корни: \( x = -1 \), \( x = 2 \), \( x = 4 \).
2. Отметим эти корни на числовой оси. Они разбивают числовую ось на четыре интервала: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \), \( (2, 4) \), \( (4, +\infty) \).
3. Определим знак выражения \( (x + 1)(x - 2)(x - 4) \) на каждом интервале:
   • На \( (-\infty, -1) \) (например, \( x = -2 \)): \( (-2+1)(-2-2)(-2-4) = (-1)(-4)(-6) = -24 < 0 \).
   • На \( (-1, 2) \) (например, \( x = 0 \)): \( (0+1)(0-2)(0-4) = (1)(-2)(-4) = 8 > 0 \).
   • На \( (2, 4) \) (например, \( x = 3 \)): \( (3+1)(3-2)(3-4) = (4)(1)(-1) = -4 < 0 \).
   • На \( (4, +\infty) \) (например, \( x = 5 \)): \( (5+1)(5-2)(5-4) = (6)(3)(1) = 18 > 0 \).
4. Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля. Поэтому выбираем интервалы, где знак отрицательный.

Ответ а): \( x \in (-\infty, -1) \cup (2, 4) \).

б) Решим неравенство \( (x^2 - 2x)(4x + 2) ≥ 0 \).

1. Разложим на множители: \( x(x - 2)(4x + 2) ≥ 0 \).
2. Найдем корни уравнения \( x(x - 2)(4x + 2) = 0 \). Корни: \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( 4x + 2 = 0 \) ⇒ \( 4x = -2 \) ⇒ \( x = -0.5 \).
3. Отметим корни на числовой оси: \( x = -0.5 \), \( x = 0 \), \( x = 2 \). Они разбивают числовую ось на четыре интервала: \( (-\infty, -0.5) \), \( (-0.5, 0) \), \( (0, 2) \), \( (2, +\infty) \).
4. Определим знак выражения \( x(x - 2)(4x + 2) \) на каждом интервале:
   • На \( (-\infty, -0.5) \) (например, \( x = -1 \)): \( (-1)(-1-2)(4(-1)+2) = (-1)(-3)(-4+2) = (-1)(-3)(-2) = -6 < 0 \).
   • На \( (-0.5, 0) \) (например, \( x = -0.25 \)): \( (-0.25)(-0.25-2)(4(-0.25)+2) = (-0.25)(-2.25)(-1+2) = (-0.25)(-2.25)(1) = 0.5625 > 0 \).
   • На \( (0, 2) \) (например, \( x = 1 \)): \( (1)(1-2)(4(1)+2) = (1)(-1)(6) = -6 < 0 \).
   • На \( (2, +\infty) \) (например, \( x = 3 \)): \( (3)(3-2)(4(3)+2) = (3)(1)(12+2) = (3)(1)(14) = 42 > 0 \).
5. Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю. Поэтому выбираем интервалы, где знак положительный, и включаем корни.

Ответ б): \( x \in [-0.5; 0] \cup [2; +\infty) \).